Die Entwicklung der Zinsstrukturkurve - Eine Analyse homogener affiner Mehrfaktormodelle auf Basis des Kalman-Filters

1 Einleitung (S. 1)

Erkenntnisse über die zeitliche Entwicklung von Zinssätzen verschiedener Fristen sind aus zahlreichen Gründen von bedeutendem Interesse. So bieten beispielsweise die heutigen langfristigen Zinssätze schon dadurch wertvolle Erkenntnisse, dass sie Erwartungen über die künftigen Zinssätze kurzer Frist beinhalten.

Neben der Verflechtung von Zinsstrukturkurve und künftiger Inflation2 lassen sich anhand Beobachtungen zur Zinsstruktur auch Aussagen treffen über die künftige gesamtökonomische Entwicklung.

Die gewonnenen Vorhersagen können eine wertvolle Grundlage bilden für finanzpolitische Entscheidungen, Investitionsentscheidungen von Unternehmen und auch für das Konsum- bzw. Sparverhalten der privaten Haushalte. Durch ein Modell für die Entwicklung der Zinssätze verschiedener Fristen, also der Zinsstrukturkurve, lassen sich neben einfachen Anleihen zudem zinsbasierte derivative Finanzinstrumente bepreisen. Hier sind beispielsweise Optionen und Futures auf Zinssätze sowie Caps, Floors und Swaps zu nennen.

In der wissenschaftlichen Literatur wurden diverse Modelle zur Beschreibung der Zinsstrukturkurve entwickelt. Zum einen existieren Shortrate-Modelle, welche die Entwicklung der Zinsintensität modellieren und darauf aufbauend eine arbitragefreie Zinsstrukturkurve für jeden Zeitpunkt ableiten. Zum anderen sind Forward Rate- Modelle zu nennen. Diese modellieren die Forwardintensitäten und auf dieser Basis die Zinsstrukturkurve.

Aufbauend darauf sind Marktmodelle zu sehen, welche als Stellvertreter für die nicht am Markt beobachtbaren Forwardintensitäten beispielsweise aus dem LIBOR abgeleitete Zinssätze verwenden. Bei der Wahl eines geeigneten Modells zur Beschreibung der Entwicklung der Zinsstrukturkurve konkurrieren stets diverse Anforderungen miteinander. Zum einen wird ein Modell gesucht, mit dem sich die in der Vergangenheit beobachtete Entwicklung hinreichend gut erklären lässt.

Zum anderen soll das Modell auch in der Lage sein, verschiedenste Arten von künftigen Entwicklungen zu repräsentieren. So soll sich bei-spielsweise eine normale, inverse, als auch eine gekrümmte Zinsstrukturkurve bilden können und der Übergang zwischen diesen Formen möglich sein. Als grundlegende wünschenswerte Eigenschaften von Zinsstrukturkurvenmodellen zählen › eine Mean Reversion der Zinssätze, › einen Ausschluss von negativen Zinssätzen, › eine geringere Volatilität von langfristigen gegenüber kurzfristigen Zinssätzen, › eine positive Korrelation von Zinssätzen verschiedener Fristen, wobei nahe beieinander liegende Fristen eine höhere Korrelation aufweisen sollten als weiter entfernt liegende sowie › eine Proportionalität von Höhe und Volatilität der Zinssätze.

Hinzu kommt, dass das Modell auch eine gute Traktabilität aufweisen sollte. Ziel der vorliegenden Arbeit ist die nähere Analyse ausgewählter Modelle zur Beschreibung der Zinsstruktur, ein Vergleich der Qualität dieser Modelle und die Prüfung inwieweit die Modelle den obigen Anforderungen genügen. Dabei erfolgt eine Konzentration auf den Shortrate-Ansatz und hier im Speziellen auf die Klasse der homogenen affinen Modelle. Insbesondere werden Modelle in der Ausgestaltung nach VASICEK (1977) sowie COX/INGERSOLL/ROSS (1985) und deren mehrfaktoriellen Erweiterungen betrachtet.

Ein besonderer Vorzug der ausgewählten Modelle ist die gute Handhabbarkeit. So existieren explizite analytische Lösungen nicht nur für die Preise von Zerobonds, sondern auch für die Preise grundlegender Derivate. Zunächst werden die Parameter von sechs näher betrachteten Modellen auf der Basis historischer Daten identifiziert. Da die Zinsintensität als treibende Größe der Zinsstrukturkurve am Markt nicht beobachtbar ist, gelingt die Identifikation der Modellparameter nicht auf direktem Wege.

Eine Abhilfe bietet der Einsatz des Kalman-Filters, wobei die Zinsintensität als latente Variable modelliert wird. Durch die am Markt mögliche Beobachtung der Spotrates kann auf die Zinsintensität geschlossen werden, wodurch sich auch die Parameter des jeweiligen Modells schätzen lassen. Als weiteres wird die Anpassungsgüte des ein-, zwei- und dreifaktoriellen Vasicek- Modells sowie des ein-, zwei- und dreifaktoriellen Cox/Ingersoll/Ross-Modells anhand ausgewählter Kriterien bestimmt.