Numerische Mathematik

Vorwort zur ersten Auflage

Vorwort zur zweiten Auflage

Vorwort zur dritten Auflage

1 Wichtige Phänomene des numerischen Rechnens

1.1 Numerische Algorithmen und Fehler

1.2 Fehlerfortplanzung, Kondition und numerische Instabilität

1.3 Rundungsfehler bei Gleitpunkt-Arithmetik

1.4 Aufgaben

2 Lineare Gleichungssysteme

2.1 Auflösung gestaffelter Systeme

2.2 LU-Faktorisierung und Gauß-Elimination

2.3 Pivot-Strategien und Nachiteration

2.4 Systeme mit speziellen Eigenschaften

2.4.1 Positiv definite Systeme

2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme

2.4.3 Die Formel von Sherman und Morrison

2.5 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen

2.5.1 Normen

2.5.2 Singulärwertzerlegung, SVD

2.5.3 Fehlerabschätzungen, Kondition

2.5.4 Rundungsfehleranalyse der Gauß-Elimination

2.6 Iterative Verfahren

2.6.1 Konvergenz der Nachiteration

2.6.2 Spektralradius und Konvergenz einer Matrix

2.6.3 Spezielle Iterationsverfahren

2.6.4 Ausblick: Entwicklung neuer Iterationsverfahren

2.7 Aufgaben

3 Eigenwertprobleme

3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.1.1 Stetigkeitsaussagen

3.1.2 Eigenschaften symmetrischer Matrizen

3.1.3 Gerschgorin Kreise

3.2 Nichtsymmetrisches Eigenwertproblem: die Potenzmethode

3.2.1 Das Grundverfahren

3.2.2 Inverse Potenzmethode

3.2.3 Deflationstechniken

3.3 Symmetrisches Eigenwertproblem: QR-Methode

3.3.1 Transformationsmatrizen: Givens-Rotationen

3.3.2 Transformationsmatrizen: Householder-Reflexionen

3.3.3 Transformationsmatrizen: Schnelle Givens-Transformationen

3.3.4 QR-Algorithmus für symmetrische Eigenwertprobleme

3.4 Aufgaben

4 Nichtlineare Gleichungen in einer Variablen

4.1 Problemstellung

4.2 Fixpunkt-Iteration

4.3 Newton-Verfahren

4.4 Das Verfahren von Müller

4.5 Intervall-Verfahren

4.6 Fehleranalyse der Iterationsverfahren

4.7 Techniken zur Konvergenzbeschleunigung

4.8 Globalisierung lokal konvergenter Verfahren

4.8.1 Dämpfungsstrategien

4.8.2 Homotopieverfahren

4.9 Nullstellen reeller Polynome

4.9.1 Anwendung des Newton-Verfahrens

4.9.2 Das QD-Verfahren

4.10 Aufgaben

5 Nichtlineare Gleichungen in mehreren Variablen

5.1 Fixpunkte von Funktionen mehrerer Variablen

5.2 Newton-Verfahren

5.3 Quasi-Newton-Verfahren

5.4 Das Verfahren von Brown

5.5 Nichtlineares Ausgleichsproblem

5.5.1 Problemstellung

5.5.2 Gauß-Newton-Verfahren

5.5.3 Abstiegsverfahren

5.5.4 Levenberg-Marquardt-Verfahren

5.6 Deflationstechniken

5.7 Zur Kondition nichtlinearer Gleichungen

5.8 Aufgaben

6 Interpolation und Polynom-Approximation

6.1 Taylor-Polynome

6.2 Interpolation und Lagrange-Polynome

6.3 Vandermonde-Ansatz

6.4 Iterierte Interpolation

6.5 Dividierte Differenzen

6.6 Hermite-Interpolation

6.7 Kubische Spline-Interpolation

6.8 Trigonometrische Interpolation, DFT und FFT

6.9 Aufgaben

7 Ausgleichsprobleme, Methode der Kleinsten Quadrate

7.1 Diskrete Kleinste-Quadrate Approximation

7.1.1 Polynomapproximationen

7.1.2 Empirische Funktionen

7.1.3 Nichtlineare Approximation

7.2 Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation

7.2.1 Polynomapproximation

7.2.2 Approximation mit verallgemeinerten Polynomen

7.2.3 Harmonische Analyse

7.2.4 Konstruktion von Orthogonalsystemen

7.3 Aufgaben

8 Kleinste-Quadrate-Lösungen

8.1 Einführung

8.2 Eigenschaften der QR-Faktorisierung

8.3 Gram-Schmidt-Verfahren

8.4 Kleinste Quadrate Probleme

8.5 Methode der Normalgleichungen

8.6 LS-Lösung mittels QR-Faktorisierung

8.7 LS-Lösung mittels MGS

8.8 Schnelle Givens LS-Löser

8.9 Das LS-Problem für eine Matrix mit Rangabfall

8.10 Aufgaben

9 Numerische Differentiation und Integration

9.1 Numerische Differentiation

9.1.1 Beliebige Stützstellenverteilung

9.1.2 Äquidistante Stützstellenverteilung

9.1.3 Numerische Differentiation mit gestörten Daten

9.1.4 Differentiationsformeln ohne Differenzen

9.1.5 Extrapolation nach Richardson

9.2 Numerische Integration

9.2.1 Grundformeln zur Integration

9.2.2 Zusammengesetzte Quadraturformeln

9.2.3 Adaptive Techniken

9.2.4 Romberg-Integration

9.2.5 Gaußsche Quadraturformeln

9.3 Aufgaben

Literaturverzeichnis

Liste der verwendeten Symbole

Verzeichnis der Algorithmen

Verzeichnis der Matlab-Programme

Tabellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Index